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在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。: P/ r, d6 ?9 R! F$ \
0 h6 r8 B; \- ~" t5 O( H- W给定两个拓扑空间 et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射 使得6 b; ^+ q, P3 T5 O9 [
, y8 a# F% G. t% E5 z* B& V# b; y( t. D6 I I. E2 f8 w8 v+ a; z
9 L" g1 J& K. E3 }+ G
则称(在Y里)同伦。. d, a( \# q8 O7 W# N0 p! w
: w$ [7 M8 K1 q8 E5 X/ W换言之:每个参数t对应到一个函数 ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到& F6 }2 d5 c" ?' ]$ _
0 \+ }* @5 `2 b+ ~3 O6 q另一种观点是:对每个,函数 定义一条连接 与 的路径:
* S: Y+ T+ `7 f7 L2 r! o1 d4 ^7 k* m5 D- ]; v
6 S+ O# f" B. s+ \' U0 R* |例一:取 , , 及 。则 与 透过下述函数在 中同伦。
, k1 _7 e; f9 `$ ]! E" Q1 ?5 ], Q g {5 v
+ j* Y G) w5 c- D6 [8 Z
(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)
( X. p1 X; V ^$ h注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
5 {, Y$ d- ^3 ^6 b6 Z5 U1 U例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦:% N4 R$ l0 W, i/ X
( x S' s6 O! z- K$ p2 ]& a* M' `& s8 p, X" a
几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。2 o8 r% O3 Z4 j4 a$ h0 f. q/ o
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。 |
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