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楼主: dahuludekeai
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葛军,男,秒杀了52万江苏考生。。来做最后两题吧 (转载)

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81#
发表于 15.6.2010 04:07:08 | 只看该作者
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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
8 g, j: U1 h0 ~' Ldahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

3 O- z  X- K* [& k. L
8 c* J8 J' a' d6 K( `
* F6 a- H& i3 R/ C
4 P3 ^: o. e  z8 A/ f# Q) T在抽象代数中,域(Field,或译为体)是一种可进行加、减、乘和除(除了除以零之外)运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
) j' A1 _/ W6 r5 }! `9 x% h1 T2 ]
$ e5 z# T7 @" l/ `域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时,在现代的定义中,域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说,域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps),或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中,除环被称为“域”,而现代意义上的域被称为“交换域”。
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82#
发表于 15.6.2010 04:08:02 | 只看该作者
啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫4 ]) g6 }) ~1 g5 r8 m9 Y
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

2 y! P! C" T' c4 ?+ Q) e! ^
$ x# t8 y' ]) K! P
* S. R  O; Z- U4 \环的定义类似于可交换群,只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”(注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法)。在抽象代数中,研究环的分支为环论。
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83#
发表于 15.6.2010 04:08:52 | 只看该作者
抽象代数中,同态是两个代数结构(例如群、环、或者向量空间)之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。
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84#
发表于 15.6.2010 04:09:16 | 只看该作者
在拓扑学中,同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。
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85#
发表于 15.6.2010 04:09:48 | 只看该作者
在抽象代数中,同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。: K. L/ l6 @5 y4 f0 k! r/ Y! H

. G' f& G  R2 {" I  |) h正式的表述是:同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的。
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86#
发表于 15.6.2010 04:10:38 | 只看该作者
在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。: P/ r, d6 ?9 R! F$ \

0 h6 r8 B; \- ~" t5 O( H- W给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射  使得6 b; ^+ q, P3 T5 O9 [

, y8 a# F% G. t% E5 z* B& V# b; y( t. D6 I  I. E2 f8 w8 v+ a; z
9 L" g1 J& K. E3 }+ G
则称(在Y里)同伦。. d, a( \# q8 O7 W# N0 p! w

: w$ [7 M8 K1 q8 E5 X/ W换言之:每个参数t对应到一个函数  ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到& F6 }2 d5 c" ?' ]$ _

0 \+ }* @5 `2 b+ ~3 O6 q另一种观点是:对每个,函数  定义一条连接  与 的路径:
* S: Y+ T+ `7 f7 L2 r! o1 d4 ^7 k* m5 D- ]; v

6 S+ O# f" B. s+ \' U0 R* |例一:取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。
, k1 _7 e; f9 `$ ]! E" Q1 ?5 ], Q  g  {5 v
+ j* Y  G) w5 c- D6 [8 Z
(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)
( X. p1 X; V  ^$ h注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
5 {, Y$ d- ^3 ^6 b6 Z5 U1 U例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦:% N4 R$ l0 W, i/ X

( x  S' s6 O! z- K$ p2 ]& a* M' `& s8 p, X" a
几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。2 o8 r% O3 Z4 j4 a$ h0 f. q/ o
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。
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87#
发表于 15.6.2010 08:23:48 | 只看该作者
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