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在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。
& S+ P% q; n! C i0 P+ K1 s' E- j- P* w f( A1 i; r4 f6 C
给定两个拓扑空间 et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射 使得, m- o) m7 g: l G3 I' x9 {' N8 I; ~
2 Y) @0 a4 A7 ~4 E a% \; [# \- V. r- I8 k( X# s
: {0 F; r( c3 X [则称(在Y里)同伦。
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4 U6 f1 m+ x6 [% E% s* |$ D1 ~换言之:每个参数t对应到一个函数 ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到
- u5 N% T7 R" M2 S$ \' A
A0 `% f+ X! s, E* E+ k另一种观点是:对每个,函数 定义一条连接 与 的路径:
8 G7 x" N) l! h1 ?4 T4 b5 g) _; _5 y) N
3 L( w% ^3 V! W7 p
例一:取 , , 及 。则 与 透过下述函数在 中同伦。+ p2 O) [! _1 |. n0 q) T
& A$ Y6 q0 g5 M. A, j: C8 C+ }) f8 t% R
* N2 z- W% B6 B3 t' B' B(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)' ~! g' s/ R: O2 S
注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
0 p* r. z* G5 _% l4 O例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦:5 n B' H: w$ r
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0 _! U( t& }4 w* Y$ S7 c5 y& A几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。 }; }+ x1 n6 x! L0 f; Z1 b- f8 Y
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。 |
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