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发表于 24.4.2010 20:18:47
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* j. ^9 X" S X9 E" u" f: W9 }4 ?& l
* L' a, Q8 D. w- v. V7 m" `
8 G$ Q6 }: }8 X
微分几何研究微分流形的性质,是现代数学中一主流;是广义相对论的基础,与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。
* h# a- H E W( i6 i# k3 y# Z+ k4 {7 V3 J3 z
古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。
( b! r5 t; i) r) W& S
+ [" q, g {0 `) K现代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。" R2 F2 Q. I: S! @4 q' x! U
# D5 l J& P' u! g' f& W2 }分支6 h" j% q! Z. r' l
切触几何# b: ]6 I% A* w
这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说,在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。6 B# y, w7 r% N! k! |6 B
+ |! k1 c1 s% l* i1 R# K/ ~6 B
芬斯勒几何
- ^ ~" j* _( b芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。
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黎曼几何
! z/ ]- {: @# Y7 S$ m2 }黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形,他们因此无穷小的看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度,散度,曲线的长度等概念得到了推广;而无须假设空间整体上有这么对称。0 V0 a% X0 _3 u5 E
1 p6 z# W9 Z, k: Z辛几何1 H+ i- W7 L0 q! n
这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式(也就是,一个闭的非退化2-形式)的微分流形。
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