哈密顿发明的四元数带来变化

extras

& O$ y4 ]- @3 B
4 [$ `! \  q  c1 {# U$ n# h# @
威廉.哈密顿,  历史上最伟大的数学家和物理学家之一。

1805年8月3日出生于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。哈密顿是一位罕见的语言奇才。10岁时就学会了12种欧洲语言。13岁就开始钻研牛顿和拉普拉斯等人的经典著作。17岁时掌握了微积分，并在光学中有所发现。

  R# [$ w4 E2 N; t4 z8 S, D; o22岁时大学还未毕业就被聘任为他就读的都柏林三一学院的教授，同时获得“爱尔兰皇家天文学家”的称号。


- B0 f+ I6 ]3 W( c8 f( y1 Q  
哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就，他是一位勤奋工作而酷爱真理的人。他和妻子在一起散步的桥头，已经有一个纪念碑。

& _' h' u$ @, |3 ~8 D: w/ k四元数是由哈密尔顿在 1843年爱尔兰发现的。爱尔兰有一个很多人熟悉的英雄，威廉.华莱士。在电影《勇敢的心》中，有一柄长剑，叮地插在大地之上，长剑在风中微颤，你仿佛听见爱尔兰的英雄在高呼：自由！在通往数学的自由或者奴役的道路之上，哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲，它就是泡利矩阵，有了泡利矩阵，就有了2分量旋量。所以天才总是相互感应，而有了泡利矩阵，才有了扭量，这亦是自然的事情。
& r$ U( Y9 K; Z& L* E. _8 D; S& A
两个四元数相等的准则是系数a、b、c、d都对应相等。

5 J# a; M3 F% n# [6 o' }! K两个四元数相加只要将对应系数分别相加形成新的系数，这样和本身也是一个四元数。为了定义乘法，哈密尔顿不得不规定i与j，i与k及j与k的乘积。为了保证乘积是一四元数，并且尽可能多地保留实数和复数的特点，他约定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，这些约定意味着乘法是不可能交换的。这样若p和q为四元数，则pq不等于qp。一个四元数被另一个四元数除也是可以做的，然而，乘法的不可交换性蕴含了用四元数q去除四元数p时，可以意味着找到r，使得p=qr或p=rq，商r在两种情形下可能不等。尽管四元数并没有像哈密尔顿希望的那样有广泛的使用价值，他还是能用它们来解决大量的物理和几何问题。
* R5 Y) @9 V4 K* z3 d) M
- O, g- u- H! q$ c0 P, {3 V四元数的引入给了数学家们又一次震动。它是一个确确实实有实际用途的代数，却不具备所有实数和复数都具备的基本性质，即 ab=ba。

哈密尔顿发明四元数后不久，从事其他领域研究的数学家们引入了更奇怪的代数。著名代数几何学家凯莱引进了矩阵，它是矩形或正方形数组。对它们也可进行通常的代数运算。但是如同在四元数中的情形一样，它也没有乘法可交换性。而且即使两个矩阵都不为0，它们的积也可能为0。四元数和矩阵只不过是许多性质越来越奇怪的代数的先驱。格拉斯曼发明了许多这样的代数。它们甚至比哈密尔顿的四元数还要一般化。不幸，格拉斯曼只是个中学教师，因此过了许多年他的工作才获得了应有的注意。无论怎样，格拉斯曼工作增添了现在称为超复数的新代数中的多样性。

为了特别的目的而创建的这些新代数本身并没有向普通的算术及其扩展在代数和分析中的真理提出挑战。毕竟，一般的实数和复数可用于完全不同的目的，它们的实用性是无可质疑的。也许真理本质上就是难以捉摸的，或者如罗马哲学家塞涅卡所说：“自然界不会一下子披露她所有的秘密。”
  p" E3 S- g& X6 g. H
如果几个力作用于一个物体，则这些力及其向量表示不一定通常也不会总在同一平面上。如果为了方便起见将通常实数称为一维数，复数为二维数，那么，要用什么来表示空间中某种三维数的向量及其代数运算呢？人们希望对这种三维数进行的运算，类似于复数的情况，将必须包括加、减、乘、除，而且必须满足通常实数和复数所具有的那些性质。这样代数运算才能自由且有效地使用。于是，数学家们开始寻找一种称为三维复数及其代数的数。

" X4 M: u8 p0 v& Y$ H# }+ n有许多数学家从事了这一问题的研究。1843年，哈密尔顿提出了一个有用的复数的空间类似物，哈密尔顿为此困惑了15年。那时数学家们所知道的所有的数都具有乘法的交换性，即ab=ba，因此哈密尔顿很自然地相信他所找的三维数或三元数，也应该具有这一性质以及其他实数和复数具有的性质。哈密尔顿终于成功了，不过他被迫作出两点让步。首先，他的新数包含四个分量，其次，他不得不牺牲了乘法交换律。这两个特点对代数学来说都是革命性的，他把这种新的数叫做四元数。
% h2 N3 x/ {0 K. m# F3 q
0 i! o* N% y3 F1 h$ xa+bi+cj+dk    i2=j2=k2=－1  两个四元数相等的准则是系数a、b、c、d都对应相等。
! `! f4 I, l; K* t
当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密尔顿记述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河散步,突然灵感扑面而来,他在桥上写下乘法表: i2＝j2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。
3 Z' p) V9 H" ^& i* Z$ g/ U6 A
这是一个普通的桥,它以前的名字叫布鲁穆桥（现称为金雀花桥 Broom Bridge）。
哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。

根据上述乘法表，四元数显然是复数的扩充，它将复数作为特殊形式包含在自身之中，它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立，哈密顿为此考虑了十几年，最后直觉地想到：必须牺牲交换律，于是第一个非交换律的代数诞生了，在以前的乘法中，乘法是交换的，比如从小学数学开始,没有人告诉你为什么1x2=2x1，但这背后其实埋藏无穷秘密。
) E9 T+ ^' l$ R6 P- J; D% X7 _/ o
哈密顿的这个创造，把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来，人们开始认识到数学既可来自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造，这种思想引起了代数学领域的一次质的飞跃，现代抽象代数的闸门被打开了。只有在4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷多微分结构。loop量子引力被人诟病，因为她不能回答为什么时空是4维的，但上帝用数学来回答。
6 A2 r2 G. H3 q5 I2 `4 h) S+ }
在19世纪到20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑次写了厚厚的《电子论》，Lorentz的《The Theory of Electrons》总共三百多页，当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该注意到，在洛仑次力公式 f=qE+vX B 出现了点乘与叉乘。
& I7 I& r, e: A0 D% F2 R3 l
这个是一个经典电动力学里的假设,但可以相信，这个假设说明，在四元数中,结合方法必须既有点乘又有叉乘，这个假设是实验证实的，所以洛仑次是伟大的。
; \# ?' s  |8 X
' _4 ^! B! B4 e4 K' `# ]  \' ]) v电磁理论与四元数的结合是自然的，天然的，同时是微妙的。因为电磁场在四维时空才是天然的。

extras

0 p( `4 v) s9 Q" v' X2 J
威廉·哈密顿爵士（Sir William Rowan Hamilton，1805年8月4日－1865年9月2日），爱尔兰数学家、物理学家及天文学家。
9 o8 G- U+ J6 u/ i7 |哈密顿发现了四元数，并将之广泛应用于物理学各方面。哈密顿对光学、动力学和代数的发展提供了重要的贡献。
3 j1 a$ e6 Q, j) G1 b他的成果后来成为量子力学中的主干。
/ N. t5 p$ [: h* I5 x7 `! D# U
哈密顿力学是哈密顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由拉格朗日力学演变而来，是经典力学的另一表述。
0 Z7 l, S  T  X3 D5 F- h& k. L适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。

extras

/ z, G# d- F6 v% M四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿在1843年发现的数学概念。四元数的乘法不符合交换律。
6 [$ C% V8 o) r2 D8 y$ ~8 F四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与域是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
! _" j+ o7 u$ N+ k6 I# J四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。 四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。

extras

在线性代数中，凯莱-哈密顿定理（以数学家阿瑟·凯莱与威廉·卢云·哈密顿命名）表明每个实或复方阵都满足方阵的特征方程式。


凯 莱

　　凯莱， A．(Cayley， Arthur)1821年8月 16日生于英国萨里的里士满； 1895年1月 26日卒于英国剑桥．数学、天文学．
* c; g5 i+ g2 k) B　　凯莱的父亲亨利·凯莱(Henry Cayley)是一位在俄国圣·彼得堡从事贸易的英国商人，其母玛丽亚·安东妮娅·道蒂(Maria Antonia Doughty)据说有俄罗斯血统．在父母的一次回英国短期探亲期间，凯莱降生在英国，他是父母的第二个孩子．不久，凯莱随父母到了俄罗斯．凯莱主要在俄国度过童年．
　　1829年，凯莱的父亲退休，于是全家回英国定居．凯莱被送到伦敦布里克里什一所小规模的私立学校念书，在学校里，他充分显示了数学天才，尤其是在数值计算方面有惊人的技巧．14岁时，父亲将他送到伦敦国王学院学习，国王学院的教师们十分欣赏凯莱的数学才能，并鼓励他发展数学能力．开始时父亲从商人的眼光出发强烈反对他将来成为一名数学家，但父亲最终被校长说服了，同意他学习数学．17岁那年，凯莱进入著名的剑桥大学三一学院就读，他在数学上的成绩远远超出其他人．他是作为自费生进入剑桥大学的，1840年成了一位奖学金获得者．1842年，21岁的凯莱以剑桥大学数学荣誉学位考试一等的身份毕业，并获得了更困难的史密斯奖金考试的第一名．
　　1842年10月，凯莱被选为三一学院的研究员和助教，在他那个时代乃至整个19世纪，他是获得这种殊荣的人中最年轻的一位，为期三年．其职责是教为数不多的学生，工作很轻松，于是他在这一时期的大部分时间内从事自己感兴趣的研究，他广泛阅读C．F．高斯(Gauss)、J．L．拉格朗日(Lagrange)等数学大师的著作，并开始进行有创造性的数学工作．三年后，由于剑桥大学要求他出任圣职，于是他离开剑桥大学进入了法律界．
　　按照成为一名高级律师的要求，凯莱必须专门攻读法学课程，于是他进了英国林肯法律学院，1849年取得律师资格．值得注意的是，在19世纪，英国许多一流的大法官、大律师都是像凯莱这样的剑桥大学数学荣誉学位考试一等及格者．
　　凯莱取得律师资格后，从事律师职业长达14年之久，主要处理与财产转让有关的法律事务．作为一位名声与日俱增的大律师，他过着富裕的生活，并且为从事自己喜爱的研究积攒了足够的钱．然而，在这段作为大律师的时间里，他挤出了许多时间从事数学研究，发表了近300篇数学论文，其中许多工作现在看来仍然是第一流的和具有开创性的．
6 V9 b2 b) y  \* C7 d4 W. w, @　　正是在担任律师的时期，凯莱与著名的美国数学事业创始人之一J．J．西尔维斯特(Sylvester)开始了长期的友谊与合作．西尔维斯特从1846年起由数学界进入法律界，1850年取得律师资格，于是，两人作为法律界的数学家结识而走到了一起．1851年，两人开始用书面形式表达对对方给予自己在数学方面的帮助的感激之情．在1851年出版的一篇论文中，西尔维斯特写道：“上面阐明的公理部分是在同凯莱先生的一次谈话中提出的……我感激他使我恢复了享受数学生活的乐趣．”1852年，西尔维斯特提到凯莱“惯常讲的话都恰如珍珠宝石．”凯莱与西尔维斯特被认为共同创立了不变量的代数理论．E．T．贝尔(Bell)称他们是“不变量的孪生兄弟”．
　　凯莱时刻准备放弃律师职业，从事他所喜爱的数学研究事业．机会终于来了．1863年，剑桥大学新设立了一个萨德勒(Sadler)纯粹数学教授席位，由于出色的数学工作，凯莱被任命为首位萨德勒数学教授，他担任这一教席直至去世．虽然作为数学教授的收入远比作为一名大律师少，但他却感到十分高兴．他将全部精力投入到数学研究与数学之中，高质量、高产地奉献出一个又一个重要的数学成果．
　　在剑桥大学，凯莱还被委任大学行政工作，他的办事经验和风格，不受个人情感影响的判断力，特别是他的法律知识、在法律界的声誉与其行政管理能力相结合，使他对剑桥大学的管理与发展做出了重要贡献．由于他的不懈努力，创建于中世纪的剑桥大学终于允许妇女注册入学了．
　　1881—1882年，凯莱应西尔维斯特之邀前往美国霍普金斯大学进行为期半年的讲学．1855年，西尔维斯特离开法律界开始任数学教授，并于1876年受邀到霍普金斯大学担任数学教授，1878年创办《美国数学杂志》(American Journal of Mathematics)．凯莱又与西尔维斯特在一起从事了一段时间的数学研究工作．
　　1883年，凯莱被任命为英国科学促进协会主席，为英国科学的持续发展、科学普及做出了重要贡献．
　　由于杰出的学术成就，凯莱获得了大量的学术荣誉，其中包括1859年当选为皇家学会会员，获得英国皇家学会的皇室勋章，1881年获得英国皇家学会的柯普雷勋章．今天，剑桥大学三一学院安放着一尊凯莱的半身塑像．
　　凯莱仅出版了一部专著《椭圆函数论》(Treatise on ellipticfunctions，1876)，然而他却发表了涉及众多数学分支、影响十分深远的数学学术论文达966篇，1889—1898年编辑出版的《凯莱数学论文集》 (The collected mathematical papers of arthur ca－yley)排满整整四开本13大卷，每卷多达600余页！
8 \, p* Y% X5 [. _7 Y+ a　　在成为剑桥大学数学教授的同时，1863年9月，凯莱与格林威治的苏珊·莫兰(Susan Moline)结婚，生有一儿一女，婚姻与家庭幸福美满．他一生所经历的一切，无论是事业还是家庭、爱情，无论是作为数学家，还是作为律师和行政官员，都是令人羡慕的．
　　凯莱在数学上最早、最重要的工作之一，是创立不变量理论。
　　受拉格朗日、高斯尤其是G．布尔(Boole)有关二次型论文的启发，凯莱在1843年22岁时即开始计算n次型的不变量，即在变换下n次型具有哪些不变量——哪些量经变换后只相差某个因子．
　　1845年，凯莱发表“线性变换理论”(On the theory of lineartransformation)一文，探讨求不变量的方式．开始，他称不变量为“导出数”(derivative)，即“从一个给定的函数按任意方式(即变换)导出的一个函数”，后来他又称不变量为“超级行列式”(hyper－determinants)．他在这些文章中给出了如何求n次齐次函数的不变量的计算方式．
　　1846年，凯莱发表“论线性变换”(On linear transformation)一文，引入了“协变量”(covariance)的概念．
　　这两篇文章奠定了凯莱作为不变量创立者的地位．无论是布尔、F．M．G．艾森斯坦(Einsenstein)或拉格朗日、高斯都没有明确表述出不变量的概念，他们(主要指布尔)都没有找出求不变量的一般方法．凯莱是第一位表述在一般意义下的代数不变量问题的数学家，他第一个深入研究求不变量的一般方法，发明了一种处理不变量的符号方法，并且得到了一系列重要结果．
& T: ?1 c1 b/ D2 h2 a, I　　从1854年开始，凯莱连续发表了一系列共10篇论代数形式的学术论文，“代数形式”(quantics)是他用来指称2个、3个或多个变量的齐次多项式的名词，最后一篇这方面的论文发表于1878年，这一组论文中得到了一系列漂亮、简捷、富有启发性的关于不变量的结果．如对于二元四次型

6 z) @# E3 g0 b, X　　凯莱经过精细的计算，证明了f的黑塞(Hesse)行列式

7 k( H3 v8 F; S6 n$ `' b7 |
　　及f与H的雅可比行列式

" y6 T  d5 l% R% n" ~5 X
+ d; T# g) V2 r- }4 v　　都是f的协变量，并且证明

g2=ac-4bd+3c2，

　　是f的不变量．
0 q9 }; S/ C; y! M　　凯莱还深入研究了不变量的完备系问题，他证明了，艾森斯坦所求得的二元三次式，他本人求得的二元四次式的不变量与协变量，分别是两种情况下的完备系．凯莱在不变量理论奠基性的创造工作中，还涉及到了众多其他数学分支重要而基本的问题．
　　受凯莱的影响，西尔维斯特在不定量理论的创立过程中也做了许多杰出而基本的工作，“不变量”(invariant)这个术语就是西尔维斯特引进的．凯莱对不变量理论倾注了极大的热情与精力，他的工作开创了19世纪下半叶研究不变量理论的高潮．P．果尔丹(Gordan)大半生致力于研究不变量，给出了如何计算完备系等重要方法，被称为“不变量之王”．1885年，D．希尔伯特(Hilbert)完成不变量方面的博士论文，以后又在不变量理论方面做了划时代的工作．果尔丹的学生、20世纪最重要的女数学家E．诺特(Noether)在1907年即以“三元双二次型的不变量完备系” (On complete systems of invariants for ternary biquad－ratic forms)为其博士论文，并以此为出发点，进行了一系列卓有成效的工作．更重要的是，在19世纪70—90年代，数学家们利用不变量理论统一了数学中的许多领域．凯莱开创的这一数学理论显示出了异乎寻常的意义．
　　矩阵论是凯莱的另一项重要数学工作，他被认为是矩阵论的创立者．他曾指出，从逻辑上来说，矩阵的概念应先于行列式的概念，但在历史上却正好相反．他第一个将矩阵作为一个独立的数学概念、对象而讨论，并且首先发表了一系列讨论矩阵的文章，因此他作为矩阵代数的创立者是当之无愧的．他曾指出：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达方程组

x′=ax＋by，

y′=cx+dy

1 n" _) C5 @  ^+ }9 M2 P　　的方便的方法而来的．”可见，凯莱是在研究线性变换下不变量时开始
8 i" o9 f8 i0 v　　在1858年的第一篇矩阵文章“矩阵论的研究报告”(A me-moir on the theory of matrices)中，凯莱引进了矩阵的基本概念和运算．给出了零矩阵、单位矩阵的定义．两个矩阵的和的矩阵定义为，其元素是两个相加矩阵的对应元素之和，他注意到，上述定义不仅适用于n×n矩阵，而且可用于任意的m×n矩阵，他指出，矩阵加法满足结合律和交换律．对于一个数m，凯莱定义mA为这样的矩阵，其每一个元素都是A的对应元素的m倍．
　　凯莱给出了矩阵乘法的定义，并着重强调，矩阵乘法是可结合的，但一般不满足交换律．他还给出了求矩阵的逆矩阵(如果有的话)的一般方法．
; D, P" j, ]! d& X3 ?$ j& f　　在矩阵论研究中，凯莱给出了矩阵代数一系列重要而基本的性质，如有关转置矩阵、对称矩阵、斜对称矩阵的定义与性质．
　　凯莱引入了方阵(n×n矩阵)的特征方程的概念．对于矩阵M，I是单位矩阵，M的特征方程是(定义为)

|M-xI|=0，

$ `! v0 d# k$ ^6 c4 O, i4 {　　此处|M-xI|是矩阵M-xI的行列式，特征方程展开为

xn-A0xn-1+…＋(-1)n|M|=0，

" q1 u2 [4 T. \3 Y/ A' f# h8 `　　该方程的根是矩阵的特征值(或特征根)．1858年，凯莱发表文章指出，在上述方程中用M代替x，则得到一个零矩阵，于是，他给出了现在称为任意方阵的凯莱-哈密顿定理．
- v  \* N( X0 N3 @; \　　值得指出的是，1841年凯莱已经引入两条竖线作为行列式符号，如
　　随后，矩阵代数在19世纪沿着两个方向发展，一个是凯莱与西尔维斯特所擅长的抽象代数结构，另一个则是被用于几何学上．
% ]% y2 ^' @- j/ `4 d/ j1 z　　凯莱将矩阵论与超复数等线性结合代数联系起来考虑．的确，四元数是他关注的一个重要方面，因为四元数提供了一个不具有乘法交换性的代数，这使得他在考虑矩阵乘法时有了先例．当然，如他所宣称的那样，他的矩阵概念不是通过四元数而获得的．但是，他本人的确对四元数以及由此而产生的超复数系研究十分感兴趣．在1843年W．R．哈密顿(Hamilton)宣告四元数的发明之后，凯莱在1847年给出了实四元数的一个八单元的推广，这种八单元(可以看作八元数的特例)的单元是1，e1，e2，…，e7，具有如下性质

　　对三足标的每一个集合循环地进行排列，从上述后7个方程可得到14个方程，如e2e3=e1；e3e1=e2．这种八单元(八元数)也不具有乘法交换律．此外，凯莱还给出了超复数代数．1858年，他提出了将超复数当作矩阵看待的思想，为研究超复数代数提供了新的工具．
# }- d5 @# K1 P& _2 v/ {　　研究线性变换下的代数不变量不仅使凯莱创立了矩阵论，而且还使他在几何研究方面做出了杰出贡献．他以代数观点研究几何在19世纪上半叶独树一帜．在研究不变量问题时，他对代数形式(齐次多项式型)的几何解释很感兴趣，如f的一个协变量代表某一图形，它不仅相关于f而且射影相关于f．为了要证明度量概念能够用射影语言来表达，凯莱致力于欧氏几何与射影几何关系的研究．在这方面，他的最好的工作是10篇论代数形式系列论文中的“关于代数形式的第6篇论文”(Sixth memoir upon quan-tics，1859)．在这篇文章中，他给出了一种关于图形度量性质的新意义．对于二维情形，用任一二次曲线代替虚圆点，在三维时他则引入二次曲面，并将这些图形称为绝对形．于是他断言，图形所有的度量性质，是加上了绝对形或者关于绝对形的射影性质．
　　凯莱从平面上的点可以用齐次坐标表示的事实出发，定义距离与角度．首先，他引入二次型

' T& V9 {7 e: L$ ]% a& Z" }0 j
　　与双线性型

6 Z1 F" Y) Y( l+ S, A　　方程F(x，x)=0定义为一条二次曲线，即上述凯莱的绝对形．绝对形的线坐标方程则为

. C& l( B) O* J2 S8 K6 P　　其中Aij是F的系数行列式中aij的余因子．
+ n& s4 F8 W! f1 W* Q6 Z" Q　　然后，凯莱定义两点x=(x1，x2，x3)，y=(y1，y2，y3)间的距离

: J- d( |( ?& y! K
: l9 E, e3 t0 S0 M5 A+ R  |" ~　　定义线坐标为u=(u1，u2，u3)，v=(v1，v2，v3)的两直线的夹角φ为

% I; R  {; \  N' Y! ]
　　取绝对形二次曲线为无穷远圆点(1，i，0)及(1，-i，0)，凯莱证明，上述关于距离与角度的公式可化成普通的欧氏几何中相应的公式．在上述定义中，长度和角度的表达式中包含绝对形的代数表达式．
　　凯莱指出，任一欧氏几何度量性质的解析表达式包含着该性质与绝对形的关系式，度量性质不是图性本身的性质，而是图形相关于绝对形的性质，因此一般的射影关系决定度量性质，也就是说，射影关系更为重要，度量几何只不过是射影几何的一部分，是其特例．他的这种思想，深深地影响了德国的F．克莱因(Klein)，克莱因认识到，利用凯莱的上述观点，有可能把非欧几何、双重几何、椭圆几何(二重)都包括在射影几何．沿着这一研究方向，克莱因成功地在1872年完成了对当时各种几何学分支的统一工作．
　　考虑用代数方法研究几何问题，实际上也是凯莱试图弄清楚当时新出现的非欧几何与其他几何关系的重要方面，他非常渴望能将非欧几何、仿射几何、欧氏几何在某种形式下统一起来，尤其是希望能在欧氏几何中实现非欧几何．他在非欧几何的研究方面做了不少工作，可是他只对欧氏几何的实在性深信不疑，他只接受那种能用新的距离公式在欧氏空间实现的非欧几何．他在1883年就任英国科学促进会主席的致词中，关于非欧几何的观点占了很大的篇幅，他说非欧空间是一个先验性的错误思想，非欧几何只不过是在欧氏几何中引进新的距离函数后所得到的新奇结果，认为“欧氏空间长期以来一直被当作是我们经验的物理空间，所以几何学的命题不仅仅近似地是真实的，而且还是绝对真实的．”因此，他不承认非欧几何的独立存在性，认为它们只不过是一类特殊的欧氏几何结构或者是欧氏几何中表示射影关系的一种方式．因而他关于几何学各分支统一的观点是“射影几何是所有的几何，反之亦然．”这在19世纪下半叶是非常具有创见的，尽管他没有承认非欧几何与欧氏几何一样基本，一样具有实用性和实在性．
* b1 m3 {7 ^$ o# \　　在一定程度上，凯莱可以说是n维几何(高维几何)、高维抽象空间的创始人之一．他通过将n×m矩阵方面的工作类比于几何中的概念，从而实现了高维空间的解释．另一方面，他在几何研究中也应用了高维空间的思想．
　　历史上，拉格朗日、J．R．达朗贝尔(d’Alembert)、A．F．麦般认为，H．G．格拉斯曼(Grassmann)在1844年建立了完全一般的n维几何概念，因而被认为是高维几何的奠基人．
2 O& q7 Z5 k( q, M6 ^+ X7 f& M) G- B　　实际上，与格拉斯曼完全独立，凯莱也进行了用分析方法研究n维几何的工作．1843年，凯莱在考虑行列式的性质时，提出行列式各行(n×n行列式)形成n维空间的坐标．1843年，他写成了“n维解析几何的几章”(Chapters in the analytical geometry of n－dimensions)，于1845年发表在《剑桥数学杂志》(Cambridge Mathematical Journal)上．他认为，研究n维几何“无需求助于任何形而上学的解释．”在这篇文章中，他给出了关于n个变量的分析结果，表明他已完全抓住了n维几何的概念．这篇文章虽然标题是关于n维解析几何的，但主要内容却是关于任意多个变量的齐次线性方程组的非零解的问题，可见，他是通过分析、代数方法而引入了n维空间．
　　1846年，在阐述一些特殊的综合几何定理时，凯莱已经利用了四维空间．不仅如此，凯莱还为高维空间几何引进了一系列术语．他曾使用“超行列式”来表示不变量，又曾引入“超椭圆θ函数” (hyperelliPtic theta functinons)．在1870年的“关于抽象几何的学术论文”(Memoir on abstract geometry)中，他引入了“超空间”(hyperspace)、“超几何”(hypergeometr)．他还考虑过由一组关于超二次曲面共轭的线性方程所确定的(m-n)维空间中的点，其每一点的坐标满足某个由行列式确定的方程，其中这个行列式涉及到超二次曲面的偏微分方程的系数．1860年，他还推导出了六元齐次坐标系统．可见，他不仅引入了n维空间的概念，还对高维空间进行了深入研究．
4 r3 U# A6 [9 b" T3 c5 _: _　　在高次曲线、曲面的研究方面，凯莱得到了一系列重要结果，如他1843年得到的“凯莱相交定理” (Cayley’s intersection theo－rem)、关于高次曲线相交的“凯莱-巴赫拉切定理”(Cayley－Bacha－rach theorem)． 1866年，在“论平面曲线的高度奇异性”(On thehigher singulorities of a plane Curve)一文中，他发现了大量重要的定理，其中涉及到尖点(cusp)、二重切线、拐切线、结点的大量性质．他还仔细考查了17，18世纪I．牛顿(Newton)、J．斯特灵(Stirling)、G．克莱姆(Cramer)所讨论的三次曲线的性质，以及19世纪J．普吕克(Plücker)的三次曲线理论，他系统地给出两个不同的三次曲线研究纲领的关系．他在1849年发现，每个三次曲面上恰好存在27条直线(每一条直线代表一类)，其中包括某些虚直线；在一条非奇异的四次平面曲线上，恰好存在28条双切线．这些重要工作，为后来几何学的研究提供了重要线索，不少工作为后来的数学家所发展，如“凯莱-塞蒙定理”(Cayley－salmon theorem)等．
3 ]" G6 u" K2 V% K# k　　在曲面的代数几何中，凯莱不仅由于其不变量理论的创造奠定了直至今天的发展方向，他还在1869年和1871年的论文中研究了曲面的算术亏格等问题，得到了一些比较重要的结果．
　　凯莱在19世纪下半叶群论的发展中起了十分重要的作用．在群论的创造者E．伽罗瓦(Galois)及当时相当多的数学家的群论研究中，置换群居于中心地位，甚至有不少人认为群论就是研究置换群．第一个改变这种状况的是凯莱，他首先认识到，置换群的概念可以推广．在1849年发表的“关于置换群的注记”(Note onthe theory of permutations)中，他引进了抽象群的概念，以后在1854，1859年发表的两篇文章中更进一步讨论了这一问题．他将一个一般的算子符号θ作用于一组元素x，y，z，…，这样作用的θ产生关于x，y，z，…的一个函数x′，y′，z′，…．凯莱指出，θ可以是一个置换，也可以是其他的运算．抽象群包含许多算子，如θ，φ，…，θφ是两个算子的复合作用(乘积)，复合是可结合的，但不一定是可交换的，即θφ的复合结果不一定等于θφ的复合结果．他指出，在抽象群理论中，群的元素的特性并不重要，一个群是完全确定的，如果它的所有元素的可能的乘积是已知的或可确定的．用凯莱自己的话来说就是：“一个符号(算子符号)的集合，1，α，β，…，它们全不相同．如果它们中任意两个的乘积(不考虑其次序)，或者任一符号的自乘结果，仍然属于这个集合，那么就说它组成一个群．”由此出发，他在论文“关于群论”(On the theoryof qroups，as depending on the symbolic equationθn=I，1854年，1858年分两次发表)中，第一次以乘法群的形式列出了一个群的元素．他举出矩阵在乘法下，四元数在加法下构成群的实例，来阐述抽象群(不同于置换群)．但凯莱对抽象群概念的引进在18世纪 50年代没有引起人们的注意，可见他的理论的确是超越时代的．他发展的矩阵论、他关注的四元数当时也是新的数学内容，而他已将这些数学成就用来作为创造新数学理论的素材．
　　凯莱继续研究群论，并在《大英百科全书》(English cyclopaeia)中按他的抽象群概念撰写“群论”词条．1878年，他又连续发表了四篇有关抽象群的论文，继续强调一个群可以看作一个普遍的概念，而不必局限于置换群，他指出虽然每个有限群可以表示成一个置换群，但抽象群更为重要．在1878年，凯莱还研究了找出具有给定阶的群的全体的问题．这些文章发表后，很快在数学界引起了反响，数学家已接受了他的观念并进行了大量卓有成效的工作．
　　由于凯莱的数学成果十分丰富，所撰写的论文数量多且涉及面广，又有相当高的水平，因此在数学中的众多领域都有以凯莱命名的定理、公式．他曾研究微分方程的奇解问题，并在1872年将完整的奇解理论发展成了现代的形式．在1886年，他撰写了关于线性微分算子理论的文章，在多篇论文中讨论了与此相关的问题．凯莱在组合拓扑学方面也进行了一些工作，尤其是在有关地图问题的研究方面．1879年，他发表了研究“四色问题”(four－color－map problem)的论文，这是关于四色问题的第一篇研究论文，近一百多年来，这一问题引起了数学家们广泛的研究．他对椭圆函数理论等也做出了特殊贡献．
　　凯莱写了一系列研究天文学的论文，关于月球和行星理论中的摄动函数是其研究重点．与英国天文学家J．C．亚当斯(Adams)完全独立，凯莱研究了地球运动轨道偏心率的变化，得到了月亮平均运动的特征加速度，不仅如此，他还给出了一种新的、更 加简单的解决这些问题的方法，其中引入了偏心率的变差．对于亚当斯计算出的月亮平均运动的特征加速度的新值，凯莱经过另外一种独立的方法给予了证明．相对来说，他在天文学方面的工作对当时的天文学家没有产生太大的影响．
% Z2 G  s0 x/ @- `　　凯莱富有深远意义的创造性的数学成就，不仅对数学发展产生了深远影响，而且为物理学的研究准备了必不可少的工具，这种对物理学的影响甚至是超越时代的．凯莱开创的不变量理论，不仅在数学中成为重要而基本的内容，而且在20世纪通过微分不变量对物理学的研究产生了直接的影响．他创造的矩阵论，给出了矩阵乘法的特殊规则以及不满足交换律的特征．P．G．泰特(Tait)评价矩阵论的创造是“凯莱正在为未来的一代物理学家锻造武器．”的确，在凯莱矩阵论的创造性工作六七十年后，1925年，W．海森堡(Heisenberg)发现，矩阵代数正是量子力学中必不可少的重要工具．著名的物理学家J．C．麦克斯韦(Maxwell)这样评价凯莱：“他的精神扩展了普通空间，在n维空间中繁荣昌盛．”
　　作为一位19世纪受人尊敬的学者，凯莱有着许多优秀的品质．他性情温和，判断冷静沉着，总是与人为善，他那律师的气质使他能面对任何武断而心平气和地处理各种事宜．对于年轻人和初学者，他总是给予帮助、鼓励和正确的忠告．他一生对无数的学者给予了无私的帮助，他们中有西尔维斯特、泰特、塞蒙、F．高尔顿(Galton)(优生学创始人)等著名学者．他为某些学者的著作撰写整章的内容而不留名，泰特的名著《四元数》(Quaternions)的第六章就是凯莱写给他的信件．1885年，功成名就的西尔维斯特在他于71岁高龄就任牛津大学数学教授的演讲中，衷心地赞扬道：“凯莱，虽然比我年轻，却是我精神上的前辈——他第一个打开了我的双眼，清除了我眼里的杂质，从而使它们能看见并接受我们普通数学中更高深的奥秘．”
　　热爱生活，享受生活，是凯莱这位数学家与众多数学大师不一样的方面之一．他广泛地阅读过许多罗曼蒂克式的文学作品，爱好旅游和领略大自然的美景，徒步旅行使他周游了大半个欧洲与美国．他终生都喜欢创作水彩画，并显示出了一定的天才，他对建筑和建筑绘画也颇有研究．对大自然、对生活的美的享受，决定了他的数学观，他对数学所做的下述描述反映了他那富有情趣的生活的影响：“很难给现代数学的广阔范围一个明确的概念．‘范围’这个词不确切．我的意思是指充满了美妙的细节的范围——不是一个像一马平川的平原那样单调乏味的范围，而是像一个从远处突然看到的辽阔美丽的乡村，它能经得起人们在其中漫步，详细研究一切山坡、峡谷、小溪、岩石、树木和花草．但是，正如对一切事物一样，对一个数学理论也如此——美，只能意会不可言传．”
　　从1841年20岁开始发表第一篇数学论文，凯莱不停地进行创造性的研究，直至去世的那一周，长期患病的痛苦也不能使他停止．接替凯莱担任剑桥大学萨德勒数学教授的A．R．福赛思(Forsyth)写到，凯莱“不仅仅是一位数学家．他怀着唯一的目标……直到生命的最后一刻，始终坚持他一生为之奋斗的崇高的理想．他的一生对于那些认识他的人有着重大的影响：他们钦佩他的品格，犹如他们敬重他的天才．在他去世时，他们感到，一个伟大的人从这个世界上消失了．”